Deze uiteenzetting kan begrepen worden zonder voorkennis van wiskunde of wiskundige logica. De discrepantie tussen causaliteit en de implicatie in de klassieke logica wordt duidelijk aan de hand van enkele voorbeelden. Even kan je stilstaan bij hoe die is ontstaan eind de 19de eeuw. In de 20ste en 21ste eeuw grepen pientere denkers in. Oplossingen zijn ook te vinden in alternatieven voor de klassieke logica. Besluit is dat er meerdere logica’s mogelijk zijn. En voor deze specifieke anomalie zijn ze zelfs noodzakelijk.
Intro, natuurlijke taal en formele taal
Manieren om de logische implicatie in de propositielogica weer te geven in natuurlijke taal:
als dit, dan dat
dat wanneer dit
dat tenzij niet dit
dit impliceert dat
altijd dat wanneer dit
uit dat volgt dit
De klassieke logica beschikt over vijf operatoren:
conjunctie, EN: ˄
disjunctie (inclusief), OF: ˅
negatie, NIET: ¬
logische implicatie, ALS DAN:→ of ⊃
gelijkwaardigheid, ALS EN ALLEEN ALS: ≡
Een volledige lijst met alternatieve vind je hier.
Formeel codeert men de implicatie als (p → q) in de klassieke logica en als (p => q) in een causaal systeem.Bij de voorbeelden hier verder is p telkens de veronderstelling en q de conclusie of respectievelijk oorzaak en gevolg bij causaliteit. Alle voorbeelden zijn ook causale verbanden.
Een causale implicatie impliceert een logische implicatie, maar niet omgekeerd.
(p => q) →(p → q)
Opmerkelijk is dat men de logische implicatie ook kan schrijven als disjunctie (¬p ˅ q).
Om een onderscheid te maken tussen de implicatie in natuurlijke taal en de implicatie in de klassieke logica gebruiken sommigen de term “materiële implicatie” voor de laatste.
Voorbeelden
Voorbeeld 1
(p) Als je jouw handen op de hete kachel legt, (q) zal je jouw vingers verbranden.
Voorbeeld 2
(p) Als je te hard op de gaspedaal duwt om uw auto te versnellen boven de toegelaten snelheid, (q) kan je een boete krijgen langs de weg.
Voorbeeld 1 en 2 zijn geldige deducties in de klassieke logica en bovendien correcte gevolgtrekkingen in causaal verband. Bij de eerste twee voorbeelden levert de logische implicatie als causaliteit geen problemen op. Maar de volgende twee voorbeelden zijn wel duidelijk problematisch.
Voorbeeld 3
(p) Dat de aarde plat is impliceert, (q) dat de aarde rond de zon draait.
Voorbeeld 4
(p) Als de aarde rond de maan wentelt, (q) vallen de koeien uit te bomen of duurt een omwenteling van de aarde rond de zon tussen de 365 en 366 dagen.
In voorbeeld 3 en 4 kan je zien dat een valse veronderstelling perfect kan leiden naar een ware conclusie in de klassieke logica terwijl ze causaal duidelijk defect zijn. Het tweede lid, q in voorbeeld 4 is waar omdat een disjunctie waar is als een van de twee delen waar is of allebei de delen waar zijn. Zie verder daarvoor in de waarheidstabellen.
Voorbeeld 5
(p) Als water verwarmd wordt tot 100° C en de luchtdruk is 1024 milibar, (q) dan start de transitie van vloeibaar water naar watergas.
Voorbeeld 6
(p) Als water verwarmd wordt tot 71° C en de luchtdruk bereikt 310 milibar op Mount Everest, (q) dan kookt het water daar.
Bij de laatste twee voorbeelden zijn de implicaties voor de klassieke logica terug geldig en het zijn ook correcte gevolgtrekkingen voor causaliteit. Als bij zo’n simpel fysisch fenomeen als water koken al meerdere oorzaken spelen, hoe complex zijn dan volledige ecologische systemen. Monocausaliteit is eerder de uitzondering dan de regel.
Wat is hier aan de hand? Het niet kunnen een onderscheid maken tussen het ontbreken van iets wat we meestal uitdrukken door de logische negatie en een valse premisse speelt ons parten. In de zin “(p) als het niet regent (q) dan blijven we droog tijdens het wandelen” is (p) zowel de negatie van “het regent”, het ontbreken van regen en tevens een valse uitspraak van de toestand “als het wel regent”.
De meerduidigheid van geïsoleerde uitspraken in de natuurlijke taal is al langer bekend bij linguisten. Het ontbreken van een geïnternaliseerde structuur van betekenissen, contextuele relevantie, relationele intentie en reflexiviteit van de spreker brengt met zich mee dat men met geïsoleerde uitspraken verschillende kanten op kan. Aan het einde van de 19de eeuw dachten filosofen, vooral wiskudigen – de wiskunde was heel succesvol geweest – dit op te lossen door de natuurlijke taal een wiskundig harnas aan te trekken. Spoiler alert, het is mislukt, maar nu zitten we wel met de gebakken peren. De deductieregels voor de logische implicatie zijn in die context opgesteld door Gottlob Frege en David Hilbert. Hun centrale stelling is:
de implicatie (p →q) is altijd waar behalve als p waar is en q vals.
Aanvankelijk werd deze stelling ook overgenomen door Bertrand Russell en Alfred Whitehead in hun Principia Mathematica. Wel, toch tot Russell met de verzamelingenleer op een paradox stuitte in de axiomas van Frege.
Hieronder de waarheidstafel waar deze stelling schematisch wordt voorgesteld.Voor de volledigheid heb ik ook het waarheidstafels van de disjunctie, conjunctie en negatie toegevoegd.
| p | q | p → q | ¬p ˅ q | p˅q | p˄q | ¬p |
| T T F F | T F T F | T F T T | T F T T | T T T F | T F F F | F F T T |
Los van het probleem dat de implicatie in de oordeelslogica heeft met causaliteit, leidt ze ook nog vaak tot tegenstrijdigheden. De volkse uitspraak: “Als mijn tante testikels had gehad, dan was ze mijn nonkel,” lijkt absurd, maar toch is het een geldige deductie voor de implicatie in de klassieke logica.
De meest geciteerde paradox is het Disjunctief Syllogisme van de vorm “of dit of dat ; niet dit; daarom dat”. Zie onderstaande afleiding als voorbeeld:
De inbreuk is een veiligheidsovertreding of er staan geen boetes op.
De inbreuk is geen veiligheidsschending.
Er staan dus geen boetes op.
Naast de paradoxen zijn er verschillende andere argumenten aangevoerd tegen de analyse van de materiële implicatie. Bijvoorbeeld door het gebruik van contrafeitelijke condities stelt men uitspraken die inhoudelijk leeg zijn als waar voor.
Voorbeeld: “Als Lee Harvey-Oswald JFK niet had neergeschoten, dan zou iemand anders dat hebben gedaan”.
Typisch is dat sommige politici die betrapt worden bij het verspreiden van valse informatie zich verdedigen met de frase: “Het had waar kunnen zijn”. Journalist Tim Verheyden schreef er een boek over.
Frege, Russell en Witgenstein
Gottlob Frege heeft de logische implicatie zo gedefinieerd in een poging om de wiskunde, meer bepaald de rekenkunde, te reduceren tot de logica. Dat laatste ging echter niet vanzelf. De booleaanse algebra leent zich het best voor die reductie. Ze gebruikt ook de logische operatoren EN, OF en NIET. Dit zijn ook de operatoren die ‘hard wired’ zijn in de CPU van computers en smartphones. Deze operatoren zijn direct gerelateerd aan de begrippen doorsnede, vereniging en complement uit de verzamelingenleer. Maar de booleaanse algebra ondersteunt de implicatie niet. Een venn diagram dat de gebieden van de implicatie in de klassieke logica weergeeft hieronder.
Aangezien de implicatie al vele eeuwen – minstens sedert Aristoteles – een centraal deel van de logica is, kon Frege ze niet zomaar laten verdwijnen. Frege vertrok echter niet van de Booleaanse Algebra, deze speelde toen nog niet de cruciale rol die ze vandaag speelt en aangezien ook de propositielogica niet bruikbaar was, ontwikkelde hij een totaal nieuw logisch systeem, de predicaten logica.
De reductie van de wiskunde tot logica staat bekend als het ‘logicisme’, een praxis die kaderde in de verdediging van het logisch positivisme aan het begin van de 20ste eeuw. Bertrand Russell en Alfred Whithead hingen die aan om dezelfde reden, maar Russell kwam er later wel gedeeltelijk op terug. Ook de populaire Ludwig Witgenstein, die in contact stond met Gottlob Frede en vervolgens met Bertrand Russell, bleef in zijn Tractatus Logico-Philosophicus het logicisme verdedigen. Na de Eerste Wereldoorlog stopte hij met filosoferen. Pas in 1929 keerde hij terug naar de filosofie en ging hij doceren in Cambridge. Zijn positie tegenover het logicisme was intussen echter bijna 180 graden gedraaid. In 1953 werden zijn Filosofische Onderzoekingen postuum gepubliceerd waarin dat duidelijk wordt.
In deze kwestie neem ik een pragmatisch standpunt in. In het pragmatisme wordt de mens als handelend wezen in het centrum gezet en staan handelen en denken in dienst van het oplossen van praktische problemen. De pragmatische theorie van de waarheid stelt dat een opvatting waar is als ze in de praktijk werkt. De logisch implicatie in de klassieke logica werkt veelal niet in de praktijk.
Logicisme heeft af te rekenen met onbeslisbaarheid
De basismaterie van de logica zijn redeneringen. Bij Aristoteles waren het syllogismen. Deze werden weergegeven in natuurlijke taal. De oordeelslogica bouwde daar op verder maar er zijn wel wat verschillen. De natuurlijke taal is wel iets totaal anders dan de natuurlijke getallen die de materie vormen van de rekenkunde. En hier gooit de onvolledigheidstelling van Gödel roet in het eten.
Deze stelt dat ieder axiomatisch wiskundig systeem dat voldoende krachtig is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen, hetzij onvolledig is (dat wil zeggen dat er ware uitspraken zijn die niet bewezen kunnen worden), hetzij inconsistent is (dat wil zeggen dat er onware uitspraken zijn die wel bewezen kunnen worden). Anders geformuleerd zal ieder consistent axiomatisch systeem van voldoende kracht om de getaltheorie in uit te drukken, stellingen kennen, die noch bewezen, noch ontkracht kunnen worden binnen dat systeem, en dus onbeslisbaar zijn. Later duikt het probleem van onbeslisbaarheid ook op in de informatica met het stop probleem van algoritmen. Ook die onbeslisbaarheid is bewezen door Alan Turing.
Het onderscheid tussen beslisbare en niet-beslisbare eigenschappen speelt een centrale rol in de grondslagen van de logica en wiskunde. Zonder die op het eerste gezicht zeer theoretische resultaten zou het onmogelijk geweest zijn om computers te bouwen. In die zin is het onderscheid dus ook vanuit praktisch oogpunt zeer belangrijk.
Causaliteit heeft als basismateriaal, feiten, acties en processen en deze kunnen heel goed beschreven worden in natuurlijke taal, alhoewel ze ook kunnen weergegeven worden met gerichte grafen, een bijzondere tak van wiskunde, maar wel een wiskunde zonder getallen. Hieronder twee topografische voorstellingen van causaliteit met grafen. Getallen zijn optioneel.
Frege en Hilbert benadrukten echter dat hun formeel systeem totaal los moet staan van de betekenis van de proposities. Dit is perfect mogelijk in abstracte algebras, maar bij causale verbanden resulteert dit gemakkelijk in onbeslisbare beweringen en al even vaak ook in tegenstrijdigheden waardoor ze betekenisloos worden.
Mij is altijd bijgebleven dat professoren destijds terecht veel belang hechten aan correcte definities en dan komen Frege en Hilbert vertellen dat we met de betekenis ervan geen rekening moeten houden. Het is het een of het ander, maar niet beide tegelijk.
Typisch voor het grootste deel van de wiskunde is dat operaties reversibel zijn. Sommige processen lijken misschien reversibel, maar strikt gesproken zijn ze dat nooit. Men kan niet terugkeren in de tijd die verloopt tussen oorzaak en gevolg. Dat is nu een probleem dat Frege en Hilbert uit de weg zijn gegaan. Dat deden ze onder andere door de oorzaak in de relatie oorzaak en gevolg, tot ‘quantité négligeable’ te herleiden. Trouwens als implicaties wel reversibel zouden zijn dan zijn het geen implicaties meer maar geldt (p ≡ q) of (p⇔ q) voor logische gelijkwaardigheid.
Wiskundige systemen zijn gesloten systemen, en dat is maar goed ook, net daarom zijn ze ook zo betrouwbaar. Maar van natuurlijke taal en (biologische, ecologische en sociale) systemen in de reële wereld verwachten we dat ze minstens half open zijn, zodat ze kunnen omgaan met verandering.
Wiskunde en logica kunnen het best elkaar aanvullen
In feite komt het erop neer dat ze de causaliteit verbannen uit de klassieke logica, maar zo sleuren ze ook de wiskunde mee in hun val. Want het heeft voor gevolg dat bepaalde wiskundige technieken ‘à volonté’ kunnen misbruikt worden zonder tegenspraak vanuit de logica. Het voorstellen van de correlatie in de statistiek als oorzaak is daarvan de meest bekende.
Je kan bijvoorbeeld statistisch aantonen dat er een correlatie is tussen de stijging van de temperatuur op aarde en het dalen van het aantal piraten die de aarde zouden afkoelen. Dat is natuurlijk onzin. Dat beide fenomenen paralel evolueren is omdat ze zich allebei afspelen tijdens de exspansie van de industriële productie. Terwijl de industrie tonnen CO2 ongeremd loosde in de atmosfeer nam ook de internationale handel toe. Dat laatste kon enkel door actief de piraterij te bestrijden. Er is dus een gemeenschappelijke oorzaak maar de piraterij had op zich niets te maken met de opwarming van de aarde. Dat de CO2 verantwoordelijk was voor het broeikast effect werd intussen uitvoerig aangetoond door uitgebreid empirisch onderzoek van het IPCC.
Statistiek draait om de analyse van relaties tussen meerdere variabelen. Traditioneel worden deze relaties beschreven als correlaties, verbanden die de causale dynamiek niet weergeven. Causale modellen proberen dit raamwerk uit te breiden door het begrip causale relaties toe te voegen, waarbij veranderingen in één variabele veranderingen in een andere variabele veroorzaken.
Twintigste-eeuwse definities van causaliteit waren puur gebaseerd op waarschijnlijkheden van verbanden. De ene gebeurtenis (X) zou een andere veroorzaken als ze de waarschijnlijkheid van de andere (Y) verhoogt. Wiskundig wordt dit uitgedrukt als:
P(Y|X) > P(Y)
Dergelijke definities zijn ontoereikend omdat andere dynamische factoren, bijvoorbeeld een gemeenschappelijke oorzaak voor X en Y, er kunnen voor zorgen dat die voorwaarde toch voldaan is. Het vaststellen van correlatie is nog maar de eerste stap, ook de werkelijke causale verbanden moeten bloot gelegd worden.
Als men bij het detecteren van correlaties ook de relevante oorzaak empirisch weet vast te grijpen, is correlatie een eerste aanwijzing, waar oorzakelijkheid de tweede is. Gecombineerd met relevante causaliteit is ze onmisbaar bij de detectie van problemen en het formuleren van oplossingen in de wetenschap. De wiskunde is een handige tool maar de correctheid van een hypothese moet nog altijd in de praktijk bewezen worden.
Het lijkt erop dat logicisme eerder een ideologisch project was dan een filosofisch. Dat heeft dikwijls nare gevolgen, zoals het verwaarlozen van de oorzaken van een probleem. Dit leidt tot het bestrijden van de symptomen waardoor het probleem onopgelost blijft.
Enkele specifieke en algemene oplossingen voor discrepantie causaliteit en klasieke logica
Als vuistregel in een informele of juridische kontext biedt de “conditio sine qua non” (CSQNp), een uitweg uit de impasse. Als men stelt dat de oorzaak eenduidig noodzakelijk moet zijn om tot een bepaald gevolg te komen – zonder die oorzaak, geen gevolg – is men al een eind weg.
Voor een uitgebreide behandeling van dit soort voorwaarden kan men terecht bij de modale logica’s. Het is noodzakelijk kan worden weergegeven als bijvoorbeeld Np of N(p), maar dit wordt gewoonlijk gedaan met het vierkantje: □p. Het is mogelijk wordt weergegeven als ◊p.
De introductie van controle op de relevantie tussen oorzaak en gevolg biedt een oplossing. Relevantielogica, ook wel relevante logica genoemd, is een niet-klassieke logica die vereist dat het antecedent en het gevolg van implicaties relevant gerelateerd zijn. Naast de geformaliseerde relevante logica’s – zie de pagina in Wikipedia – van onder andere Alan Ross Anderson en Nuel Belnap kan je voor relevantie ook terecht in de pragmatische linguistiek van bijvoorbeeld Paul Grice en Dan Sperber.
Aanvullend kan men strikte voorwaarden eisen voor het verband tussen gevolg en oorzaak. Dit is vooral belangrijk voor tweewaardige logica’s, die onmisbaar zijn in de fysica, chemie, biologie en ecologie.
Voor twee willekeurige proposities p en q zegt de formule p → q dat p materieel q impliceert terwijl □(p → q) zegt dat p strikt q impliceert.
Controle op de relevantie tussen oorzaak en gevolg en strikte voorwaarden eisen voor het verband tussen gevolg en oorzaak zijn allebei noodzakelijk.
Algemene alternatieven voor de klassieke logica zijn onder andere de intuïtionistische of constructieve logica’s en de driewaardige logica’s (waar, vals en onbepaald gebruikt worden zoals bij Jan Łukasiewicz en Stephen Kleene). Maar voor bewijzen in de wiskunde is men nog altijd aangewezen op tweewaardige logica’s. Het bewijzen gaat in alle geval sneller dan bij intuïstische of constructieve wiskunde. In tegenstelling tot wat men zou denken, zijn de intuïtionistisch logica’s veel strenger dan de klassieke logica.
Systemen van intuïtionistische logica gaan niet uit van de wet van de uitgesloten derde en aanvaarden de eliminatie bij dubbele ontkenning niet. Dit maakt het bewijzen van stellingen een pak moeilijker. Het bewijs uit het ongerijmde wordt niet aanvaard. De geldigheid van die methode berust namelijk op de wet van de uitgesloten derde. Nu bijna alles in de wiskunde kan ook bewezen worden in een intuïtionistisch systeem.
Het “constructivisme” in de wiskunde beschouwt bewijzen als constructies van mentale entiteiten, waarvan de eigenschappen rekenkundig moeten worden vastgesteld. Intuïtionistische logica accepteert alleen die gevolgtrekkingen als geldig die een constructief bewijs hebben. Men kan dus een bewering ‘er bestaat een x zodanig dat F(x)’ niet bewijzen zonder een expliciet voorbeeld te geven.
Stephen Kleene introduceerde driewaardige logica’s met als motief dat uitkomsten van rekenkundige procedures niet aleen waar of vals kunnen zijn, maar dat die procedures ook zo kunnen mislukken dat er uiteindelijk geen uitkomsten zijn. De extra waarde “onbepaald” zou men ook kunnen toekennen aan zinnen met een valse vooronderstelling, zoals “De huidige koning van Pruisen draagt een bril.”
Hieronder de waarheidstafel voor driewaardige logica’s. Naast T en F voor waar en vals, gebruiken we U voor onbepaald.
| p | q | ¬p | p ˄ q | p ˅ q | p → q |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T |
| T | U | F | U | T | U |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | F | F | T |
| F | U | T | F | U | T |
| U | T | U | U | T | T |
| U | F | U | F | U | U |
| U | U | U | U | U | U |
Ook voor wat men empirisch kan aantonen of experimenteel kan bewijzen, in de fysica, chemie, bilogie, ecologie enzovoort, is men nog altijd op een tweewaardige logica aangewezen. Echter daarbuiten, waar de dingen nog complexer worden kan men dat pad verlaten. Moet men dat dikwijls ook om tot oplossingen te komen.
Fact chequers gebruiken soms zelfs een vierwaardige logica (waar, eerder waar, eerder onwaar en onwaar).
Zoals er voor elke concrete taak, aangepaste gereedschappen zijn – men zet geen koffie met een wasmachine – zo is er ook een aangepaste logica voor elke taak die zich stelt.
De idee dat er maar een enige juiste logica bestaat moet dringend de wereld uit.
Geraadpleegde bronnen
Batens, Diderik (2002), Logicaboek, Praktijk en theorie van het redeneren, Garant, ISBN 90-441-1348-8
Giordano, Laura & Schwind, Camilla. (2004), Conditional logic of actions and causation. Artificial Intelligence. 157. 239-279. 10.1016/j.artint.2004.04.009.
Magnus, P. D. (2005), Forall X: An Introduction to Formal Logic, Victoria, BC, Canada: State University of New York Oer Services. pp. 35–45.
Menzies, Peter and Helen Beebee, “Counterfactual Theories of Causation”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2020 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
Stepanov, Alexander (1985), Towards a Theory of Causal Implication. Department of Electrical Engineering and Computer Science, Polytechnic University of New York.
Tarski, Alfred, (1944), The Semantic Conception of Truth and the Foundations of Semantics, Philosophy and Phenomenological Research, Vol. 4, No 3, pp. 341-376.
Van Bendegem, Jean Paul, (2001), Inleiding tot de Moderne Logica en Wetenschapsfilosofie: een verkenning, VUBPRESS, ISBN:90 5487 040 0.
Verhoeven, Liza (2005), De Disjunctie, Adaptief-logische formalisering van een aantal Griceaanse implicaturen, Doctoraat, Universiteit Gent, Faculteit Letteren en Wijsbegeerte.
Axioma’s van de klassieke logica
De wet van identiteit: Metafysisch stelt deze wet dat “A is A” of “alles is zichzelf”. Voor proposities: “Als een propositie waar is, dan is het waar.”
De wet van het uitgesloten derde: Metafysisch stelt deze wet dat “alles A is of niet A”. Voor proposities: “Een propositie, zoals P, is waar of onwaar.”
De wet van non-contradictie: Metafysisch stelt deze wet: “Niets kan zowel A als niet-A zijn.” Voor proposities: “Een propositie, P, kan niet zowel waar als onwaar zijn.”
Afleidingsregels voor goed gevormde formules (ggf)
Axioma’s van modale logica
(p ∧ q) → (q ∧ p)
(p ∧ q) → p
p → (p ∧ p)
((p ∧ q) ∧ r) → (p ∧ (q ∧ r))
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
(p ∧ (p → q)) → q
◇(p ∧ q) → ◇p.
(p → q) → (¬◇q → ¬◇p).
◇◇p → ◇p
□p → □□p
◇p → □◇p
nie pleuen 